Devoir Maison n°5
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Février 2000

Term S1

Devoir Maison n° 5

 

Exercice 1

1°) Montrer que : " tÎ R,

2°) On désigne par f une fonction dérivable définie sur R telle que :

" (x,y)Î R2,  (1)

  1. Montrer que : " xÎ R, -1 £ f(x) £ 1.
  2. Trouver toutes les fonctions f constantes vérifiant (1).

    3. Dans la suite du problème, on supposera que f n'est pas constante.

  3. Montrer que : " xÎ R, -1 < f(x) < 1.
  4. Calculer f(0). On pose dans la suite du problème a = f'(0).
  5. En utilisant la définition de la dérivée, exprimer f'(x) en fonction de f(x) et a .
  6. Montrer que f est une bijection de R sur ]-1;1[ et que sa bijection réciproque f-1 est dérivable sur ]-1;1[. Calculer (f-1)'.
  7. Expliciter f-1(y) en fonction de y et de a .

    8. On déterminera pour cela deux réels a et b tels que : .

  8. Trouver toutes les fonctions f non constantes , dérivables, vérifiant (1).

 

Exercice 2

On note :

(sinus hyperbolique)

(cosinus hyperbolique)

(tangente hyperbolique)

 

1°) Déterminer les propriétés calculatoires de ces fonctions.

2°) Etudier les variations et les propriétés analytiques de ces fonctions