Devoir n°2
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Vendredi 23 octobre 1998

Term S1-4 

Devoir de mathématiques (2h)

 

I/ Etude d’une fonction. ( 8 points)

 Soit la fonction f définie sur R par :

 1°) a) Déterminer les limites de f en -¥ et en +¥ .

 b) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

 2°) a) Démontrer que la courbe Cf représentative de f admet la droite (D) d’équation : y = x - 3 comme asymptote oblique en -¥ et en +¥ .

b) Etudier la position relative de Cf et de (D).

c) Démontrer que la courbe Cf admet pour centre de symétrie le point .

 3°) Construire la droite (D) et la courbe Cf dans un repère orthonormal.

 

II/ Calculs de limites. ( 5 points)

Calculer les limites suivantes :

1°).

 2°).

 3°).

 4°).

 5°).

  

III/ Complexes. ( 7 points)

 On considère le polynôme P défini sur C par : P(z) = z4 + 2z3 + 6z2 + 8z + 8.

  1°) Justifier que : .

En déduire que si z0 est une racine de P, alors son conjugué est aussi une racine de P. 

2°) a) Résoudre l’équation P(z) = 0 sachant qu’elle admet deux racines imaginaires pures.

 b) Déterminer la forme trigonométrique de chacune des solutions de l’équation précédente.

 3°) Soient M1, M2, M3 et M4 les points d’affixes respectives –2i, 2i, -1 + i et -1 – i.

 a) Placer les points M1, M2, M3 et M4 dans le plan complexe et démontrer que M1M2M3M4 est un trapèze isocèle.

 b) Démontrer que les points M1, M2, M3 et M4 appartiennent à un même cercle de centre A d’affixe 1 dont on précisera le rayon.