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Vendredi 2 octobre 1998

Term S1-4

 Devoir de mathématiques (2h)

 

I/ Etude d’une fonction trigonométrique. (7 points)

 Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = (cos 2x + 2).sin x

 1°) Déterminer la parité et la périodicité de f et en déduire un intervalle d’étude approprié.

 2°) Vérifier que : f’(x) = (3 – 6.sin2 x).cos x

en déduire les variations de f sur l’intervalle d’étude considéré.

 3°) Tracer la courbe Cf représentative de f sur l’intervalle [-2p  ;2p ]

 

II/ Suites imbriquées. (5 point) D’après Bac – D

 Soient (an)nÎ N et (bn)nÎ N les suites numériques définies par :

a0 = 2, b0 = 3 et pour tout entier naturel n :

 1°) Soit (un)nÎ N la suite de terme général un = an + bn.

Quelle est la nature de la suite (un)nÎ N ?

En déduire la valeur de un pour tout entier naturel n.

2°) Soit (vn)nÎ N la suite de terme général vn = an - bn.

Quelle est la nature de la suite (vn)nÎ N ?

En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n.

 3°) Exprimer, pour tout entier naturel n, an et bn en fonction de un et vn.

En déduire que les suites (an)nÎ N et (bn)nÎ N convergent vers une même limite que l’on déterminera.

  

III/ Suites et trigonométrie. (8 points) D’après Bac C - Lille – septembre 1985

 On considère les deux suites de nombres réels, (un)nÎ N* et (vn)nÎ N* définies par :

Pour tout nÎ N*, un = sin + sin + … + sin

 vn = + + … + .

1°) Démontrer que la suite (vn)nÎ N* converge vers .

 2°) a) Démontrer que les fonctions f, g et h définies par :

f(x) = x – sin x

g(x) = -1 + + cos x

h(x) = -x + + sin x

ne prennent que des valeurs positives ou nulles sur l’intervalle [0 ; +¥ [.

On pourra utiliser les variations de chacune des trois fonctions.

b) Démontrer que pour tout n ³ 1

13 + 23 + … + n3 £ n4.

c) Déduire du a) que pour tout entier naturel n non nul, on a :

0 £ vn - un £ .

 3°) En déduire que la suite (un)nÎ N* converge et préciser sa limite.